（2013•鞍山一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=255，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．（1）求抛

Question

（2013•鞍山一模）如图，已知二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=(2√(5))/(5)，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线y=2x-4上一点，过点P作直线PM垂直于直线CD，垂足为M，若∠MPO=75°，求出点P的坐标．

Answer 1

（1）∵二次函数y=ax²+bx+8（a≠0）的图象与y轴交与点C，
∴点C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷(2√(5))/(5)=4√(5)，
OB=√(BC2−OB2)=4，
则点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

4a−2b+8＝0

16a+4b+8＝0

．
解得

a＝−1

b＝2

，
故抛物线的解析式：y=-x²+2x+8=-（x-1）²+9，顶点D（1，9）；

（2）在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
设直线CD的解析式为y=kx+m，
将C（0，8），D（1，9）代入，
得

作业帮用户 2016-12-03

问题解析

（1）先由二次函数的解析式求出点C的坐标，然后在Rt△BOC中，根据sin∠ABC的值得到点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，通过对解析式进行配方即可得到顶点D的坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=x+8，那么可设Q点的坐标为（x，x+8）．当以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①BQ=BC；②CQ=BC；③QB=QC．然后针对每一种情况，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可；
（3）先求出直线CD：y=x+8与x轴的交点E的坐标，得到OC=OE=8，∠CEO=45°．设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况进行讨论：①当点P在点F的下方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q．根据四边形内角和定理求出∠MPQ=135°，根据三角形内角和定理求出∠POQ=30°，得到直线OP的解析式为y=(√(3))/(3)x，解方程组

y＝(√(3))/(3)x

y＝2x−4

即可求出点P的坐标；②当点P在点F的上方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．根据三角形内角和定理及外角的性质得出∠GOQ=60°，得到直线OP的解析式为y=√(3)x，解方程组

y＝√(3)x

y＝2x−4

即可求出点P的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，两点间的距离公式，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，有一定难度．利用分类讨论及数形结合的思想是解题的关键．

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