在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b（1+cosA），且△ABC的面积S=2，则（c+a-b）（c+b-a）的取值范围是（）A.（82-8，8）B.（833，8）C.（82-8，833）D.（8，83）

Question

在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b（1+cosA），且△ABC的面积S=2，则（c+a-b）（c+b-a）的取值范围是（　　）

A. （8

√(2)-8，8）

B. （

(8√(3))/(3)，8）

C. （8

√(2)-8，(8√(3))/(3)）

D. （8，8

√(3)）

Answer 1

在锐角△ABC中，∵a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosB=b（1+cosA），
∴sinAcosB=sinB+sinBcosA，sin（A-B）=sinB，
∴A-B=B，即A=2B<(π)/(2)，∴B∈（0，(π)/(4)），∴A+B=3B∈（(π)/(2)，(3π)/(4)），故C∈（(π)/(4)，(π)/(2)），∴(C)/(2)∈（(π)/(8)，(π)/(4)），
∴tanC=(2tan(C)/(2))/(1-tan2(C)/(2))>1，求得1>tan(C)/(2)>-1+√(2)．
∵△ABC的面积S=(1)/(2)ab•sinC=2，∴ab=(4)/(sinC)，
则（c+a-b）（c+b-a）=c²-（a-b）²=c²-a²-b²+2ab=-2ab•cosC+2ab=2ab（1-cosC）=(8)/(sinC)（1-cosC）
=8(1-(1-2sin2(C)/(2)))/(2sin(C)/(2)cos(C)/(2))=8tan(C)/(2)∈（8√(2)-8，8），
故选：A．