如图,在三角形中AB=5BC=3AC=4PQ平行与AB,P点在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上（1）当△PQC的周长是△ABC周长的一半时,求CP的长.（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.（3）试问：

Question

如图,在三角形中 AB=5 BC=3 AC=4 PQ平行与AB,P点在AC上（与A,C不重合）,Q在BC上
（1）当△PQC的周长是△ABC周长的一半时,求CP的长.
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
（3）试问：在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形,若不存在,请简要说明理由：若存在,请求出PQ的长.

Answer 1

△ABC中,AB＝5,BC＝3,AC＝4
所以△ABC为直角三角形,AB为斜边
△ABC的面积=3*4/2=6
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等
所以△PQC=3
PQ‖AB
CP：4=CQ:3
CQ=3CP/4
△PQC=1/2*CQ*CP=3/8*CP^2=3
CP=2*根号2
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
CP+CQ+PQ=PQ+BQ+AP+AB
CP+CQ=3+4+5-CP-CQ
CP+CQ=6
CP：4=CQ:3
CP=24/7
（3）符合条件的M点是存在的.
①设QM=PM=x,∠OMQ=90°,
BQ=3-x,PA=4-x,
由QM‖AC,
∴(3-x)/x=x/(4-x),
12-7x+x²=x²,
∴x=12/7.
∴PQ²=(12/7)²+(12/7)²
PQ²=288/49,
∴PQ=12√2/7.
②设PQ=QM=5x,∠MQP=90°,
QC=3x,PC=4x,
由△BMQ∽△QCP,
∴（3-3x）/5x=5x/4x,
x=12/37.
∴PQ=5x=60/37.
③设PQ=PM=5x,∠MPQ=90°,
QC=3x,PC=4x,PA=4-4x,
由△PQC∽△APM,
∴3x/5x=5x/（4-4x）
x=12/37,
∴PQ=5x=60/37.