如图，直线AB交O于C、D两点，CE是O的直径，CF平分∠ACE交O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是O的切线；（2）若FG=4，O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

Question

如图，直线AB交 O于C、D两点，CE是 O的直径，CF平分∠ACE交 O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．

（1）求证：直线FG是 O的切线；
（2）若FG=4， O的半径为5，求四边形FGDE的面积．

Answer 1

（1）证明：连接FO，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF．
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCG=∠FCE．
∴∠OFC=∠FCG．
∵CE是 O的直径，
∴∠EDG=90°，
又∵FG∥ED，
∴∠FGC=180°-∠EDG=90°，
∴∠GFC+∠FCG=90°
∴∠GFC+∠OFC=90°，
即∠GFO=90°，
∴OF⊥GF，
又∵OF是 O半径，
∴FG与 O相切．

（2） 延长FO，与ED交于点H，
由（1）可知∠HFG=∠FGD=∠GDH=90°，
∴四边形FGDH是矩形．
∴FH⊥ED，
∴HE=HD．
又∵四边形FGDH是矩形，FG=HD，
∴HE=FG=4．
∴ED=8．
∵在Rt△OHE中，∠OHE=90°，
∴OH=√(OE2-HE2)=3．
∴FH=FO+OH=5+3=8．
S_{四边形FGDH}=(1)/(2)（FG+ED）•FH=(1)/(2)×（4+8）×8=48．