如图，已知线段AE=10，点P是线段AE上的动点，以AP长为边长作菱形PMNQ，已知该菱形的一个锐角∠MPQ=60°，且对角线NP⊥AE，△PED是以PE为底的等腰三角形，则△PND的面积的最大值是．

Question

如图，已知线段AE=10，点P是线段AE上的动点，以AP长为边长作菱形PMNQ，已知该菱形的一个锐角∠MPQ=60°，且对角线NP⊥AE，△PED是以PE为底的等腰三角形，则△PND的面积的最大值是___．

Answer 1

作DH⊥PN于H，DF⊥PE于F，连结MQ交PN于O点，如图，设PA=x，则PM=x，PE=10-x，
∵四边形PMNQ为菱形，
∴OP=ON，PN⊥MQ，∠MPO=(1)/(2)∠MPQ=30°，
在Rt△OPM中，∵cos∠MPO=(OP)/(PM)，
∴PO=x•cos30°=(√(3))/(2)x，
∴PN=2PO=√(3)x，
∵PN⊥AE，DF⊥PE，DH⊥HP，
∴四边形PFDH为矩形，
∴DH=PF，
∵DP=DE，DF⊥PE，
∴PF=EF=(1)/(2)PE=(1)/(2)（10-x），
∴S_△PND=(1)/(2)•PN•DH=(1)/(2)•√(3)x•(1)/(2)（10-x）
=-(√(3))/(4)（x-5）²+(25√(3))/(4)，
当x=5时，S_△PND的值最大，最大值为(25√(3))/(4)．
故答案为(25√(3))/(4)．