在锐角△ABC中，m=（sinA，cosA），n=（3，-1），m•n=1．（I）求角A的大小（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．

Question

在锐角△ABC中，

m

=（sinA，cosA），

n

=（√(3)，-1），

m

•

n

=1．
（I）求角A的大小
（Ⅱ）求cos2B+4cosAsinB的取值范围．

Answer 1

（I）由题意：

m

•

n

＝√(3)sinA−cosA＝1，2sin(A−(π)/(6))＝1，sin(A−(π)/(6))＝(1)/(2)，
∵0＜A＜(π)/(2)，∴−(π)/(6)＜A−(π)/(6)＜(π)/(3)，∴A−(π)/(6)＝(π)/(6)，即A＝(π)/(3)．
（II）由（1）知：cosA＝(1)/(2)．
∴cos2B+2sinB=1−2sin2B+2sinB＝2(sinB−(1)/(2))2+(3)/(2)，
∵△ABC为锐角三角形．
∴B+C=(2π)/(3)，C＝(2π)/(3)−B＜(π)/(2)，
∴B＞(π)/(6)，∴(π)/(6)＜B＜(π)/(2)，
∴(1)/(2)＜sinB＜1，
∴1＜cos2B+2sinB＜(3)/(2)．