多项式6x^2+mxy-3y^2+3x+10y-3能分解成两个x,y的一次多项式,则m=多少,写出具体过程

Question

多项式6x^2+mxy-3y^2+3x+10y-3能分解成两个x,y的一次多项式,则m=多少,写出具体过程

Answer 1

6x^2+mxy-3y^2+3x+10y-3
=6x²+(my+3)x - (3y²-10y+3)
=6x²+(my+3)x -(3y-1)(y-3)
构造十字相乘,当6分解为2和3时,有
2 3y-1
3 -（y-3）
那么my+3=-2y+6+9y-3=7y+3
m=7
当6分解成1和6时,有
1 -(3y-1)
6 y-3
那么my+3 = -18y+6+y-3=-17y+3
m=-17
【注,这道题试了几种方法,上面的两个解实际上是做了一个假定后的结果,即两个一次多项式中是没有分数项,如果考虑分数项,这道题解就能有无穷多了,思路如下：】
设6x^2+mxy-3y^2+3x+10y-3=(ax+by+c)(dx+ey+f)
=adx²+bdxy+cdx+aexy+bey²+cey+afx+bfy+cf
=adx²+(bd+ae)xy+bey²+(cd+af)x+(ce+bf)y+cf
根据题意可知
ad=6 ①
bd+ae=m ②
be=-3 ③
cd+af=3 ④
ce+bf=10 ⑤
cf=-3 ⑥
注意到我设定了abcdef六个未知数,但是上面仅含abcdef六个未知数的方程只有5个,因此解的个数是不确定的.