设F1、F2分别是椭圆x24+y2=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（OP+OF2）•PF2=0（O为坐标原点），则△F1PF2的面积是（）A.4B.3C.2D.1

Question

设F₁、F₂分别是椭圆(x2)/(4)+y²=1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使（

OP

+

OF2

）•

PF2

=0（O为坐标原点），则△F₁PF₂的面积是（　　）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

Answer 1

∵（

OP

+

OF2

）•

PF2

=0，
∴平行四边形OPBF₂的对角线互相垂直，
即平行四边形OPBF₂是菱形，
∵椭圆(x2)/(4)+y²=1，∴a=2，b=1，c=√(4−1)＝√(3)，
即OP=OF₂=√(3)，即平行四边形OPBF₂的边长为√(3)，
∴△F₁PF₂是直角三角形，
设PF₂=x，PF₁=y，
则x+y=2a=4，
平方得x²+2xy+y²=16，
∵x²+y²=（2c）²=12，
∴2xy=16-12=4，即xy=2，
则△F₁PF₂的面积为(1)/(2)xy＝(1)/(2)×2＝1，
故选：D