如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）求CD的长．

Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．

（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求CD的长．

Answer 1

（1）如图所示：

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为点E，
∵点D到边AB和边BC的距离相等，
∴BD平分∠ABC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
在Rt△CBD和Rt△EBD中，

CD=DE

BD=BD

∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BC=BE．
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB²=BC²+AC²．（勾股定理）
∵AC=6cm，AB=10cm，
∴BC=8cm．
∴AE=10-8=2cm．
设DC=DE=x，
∵AC=6cm，
∴AD=6-x．
∵在△ADE中，∠AED=90°，
∴AD²=AE²+DE²．（勾股定理）
∴（6-x）²=2²+x²．
解得：x=(8)/(3)．
即CD的长是(8)/(3)．