已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．（1）求a的值；（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；（3）若n为正整数，证明：10f(

Question

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）+g（x）的单调递增区间；
（3）若n为正整数，证明：10f( n )•( (4)/(5) )g( n )＜4．

Answer 1

（1）由题意，f（0）=g（0），
|a|=1又a＞0，
所以a=1．
（2）f（x）+g（x）=|x-1|+x²+2x+1
当x≥1时，f（x）+g（x）=x²+3x，它在[1，+∞）上单调递增；
当x＜1时，f（x）+g（x）=x²+x+2，它在[ −(1)/(2)， 1 )上单调递增．
（3）设cn＝10f( n )•( (4)/(5) )g( n )，考查数列{c_n}的变化规律：
解不等式(cn+1)/(cn)＜1，由c_n＞0，上式化为10•( (4)/(5) )2n+3＜1
解得n＞(1)/(2lg0.8)−(3)/(2)≈3.7，因n∈N得n≥4，于是，c₁≤c₂≤c₃≤c₄，而c₄＞c₅＞c₆＞…
所以，10f( n )•( (4)/(5) )g( n )≤10f( 4 )•( (4)/(5) )g( 4 )＝103•( (4)/(5) )25＜4．