求sinAcosA/(|sinA|+|cosA|)的最大值?A没有范围,也就是说sinA和cosA的范围都是[-1,1]我把根号用这个"√"符号代替这个题目有四个选项A.√2/4B.√2/2C.√5/5D.2√5/5

Question

求sinAcosA/(|sinA|+|cosA|) 的最大值?
A没有范围,也就是说sinA和cosA的范围都是[-1,1]
我把根号用这个"√"符号代替
这个题目有四个选项
A.√2/4 B.√2/2 C.√5/5 D.2√5/5

Answer 1

求sinAcosA/(|sinA|+|cosA|)的最大值
等价于求|sinA||cosA|/(|sinA|+|cosA|)的最大值
上面式子恒大于0
所以先求出 [|sinA||cosA|/(|sinA|+|cosA|)]^2的最大值
即 |sinAcosA*sinAcosA|/(sinAsinA+2|sinAcosA|+cosAcosA)
(由于平方后肯定大于等于0,所以可以把绝对值符号去掉)
又因为sinAsinA+cosAcosA = 1 ,2sinAcosA = sin2A
化简,得 sin2A*sin2A/[4(1+|sin2A|)]
因为|sin2A|的取值范围是[0,1]
所以另t=|sin2A|
就是要求当t的取值为[0,1]时,t^2/[4(1+t)] 的最大值
t^2/[4(1+t)] = 1/[4(1/t^2+1/t)]
当t增大时,1/t和1/t^2都减小,所以1/[4(1/t^2+1/t)]增大
所以当t=1时,t^2/[4(1+t)] 取得最大值1/8
把1/8开方,得到,原来函数的最大值是√2/4
所以选A