求证:椭圆两焦点到其任意一条切线的距离的乘积为b^2(b为短半轴长)

Question

求证:椭圆两焦点到其任意一条切线的距离的乘积为b^2(b为短半轴长)

Answer 1

证明：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1,(a>b>0),椭圆上任意一点P(xo,yo),左右焦点为F1(-c,0)、F2(c,0)
椭圆方程两边同时对x求导得2x/a²+2yy’/b²=0,即y’= -b²x/(a²y)
所以点P处的切线斜率为k= -b²xo/(a²yo)
由点斜式可写出切线方程为b²xox+a²yoy=b²xo²+a²yo²,两边同除以a²b²得
xox/a²+yoy/b²=xo²/a²+yo²/b²
因为点P(xo,yo)在椭圆上,所以xo²/a²+yo²/b²=1,代入上式得
xox/a²+yoy/b²=1,即b²xox+a²yoy-a²b²=0
由点到直线的距离公式可得出两焦点到切线的距离分别为
d1=| b²xo(-c)-a²b²|/√[(b²xo)²+(a²yo)²]
d2=| b²xoc-a²b²|/√[(b²xo)²+(a²yo)²]
所以d1d2={| b²xo(-c)-a²b²|/√[(b²xo)²+(a²yo)²]}*{| b²xoc-a²b²|/√[(b²xo)²+(a²yo)²]}
=| (b²xoc)²-(a²b²)²|/[(b²xo)²+(a²yo)²]
将xo²/a²+yo²/b²=1变形为yo²=(b²/a²)(a²-xo²)代入上式得
d1d2=| (b²xoc)²-(a²b²)²|/[(b²xo)²+a^4(b²/a²)(a²-xo²)]
=| (b²xoc)²-(a²b²)²|/[a^4-(a²-b²)xo²]
因为a²-b²=c²,上式又变为
d1d2= b^4*| xo²c²-a^4|/[(b²xo)²+a^4(b²/a²)(a²-xo²)]
= b^4*| xo²c²-a^4|/(a^4-c²xo²)
= b^4