如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC=2，点E在线

Question

如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1，

（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO；
（Ⅱ）求三棱锥P-ABC体积的最大值；
（Ⅲ）若BC=√(2)，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）在△AOC中，因为OA=OC，D为AC的中点，
所以AC⊥DO，
又PO垂直于圆O所在的平面，
所以PO⊥AC，
因为DO∩PO=O，
所以AC⊥平面PDO．
（Ⅱ）因为点C在圆O上，
所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1，
又AB=2，所以△ABC面积的最大值为(1)/(2)×2×1=1，
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1，
故三棱锥P-ABC体积的最大值为：(1)/(3)×1×1=(1)/(3)．
（Ⅲ）在△POB中，PO=OB=1，∠POB=90°，
所以PB=√(12+12)=√(2)，
同理PC=√(2)，所以PB=PC=BC，
在三棱锥P-ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示，
当O，E，C′共线时，CE+OE取得最小值，
又因为OP=OB，C′P=C′B，
所以OC′垂直平分PB，即E为PB中点．
从而OC′=OE+EC′=(√(2))/(2)+(√(6))/(2)=(√(2)+√(6))/(2)．
亦即CE+OE的最小值为：(√(2)+√(6))/(2)．