证明不等式,n个正实数的和与他们倒数和的乘积不小于n的平方

Question

证明不等式,n个正实数的和与他们倒数和的乘积不小于n的平方

Answer 1

这个是柯西不等式,证这个很麻烦的.推广形式为 (x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*) 　　证明如下 　　记A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….　　由平均值不等式得　 　　(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n) 　　(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n) 　　……　 　　上述m个不等式叠加得　 　　1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…　 　　即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…　 　　即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　 　　即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n　 　　因此,不等式(*)成立.