如图,抛物线y=三分之一x的平方+三分子二x+3交y轴于点a,对称轴为直线

Question

如图,抛物线y=三分之一x的平方+三分子二x+3交y轴于点a,对称轴为直线

Answer 1

参考：如图所示,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,直线BD的函数表达式为y=-根号下3*x+3倍根号3 ,抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合）,以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M,以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N,分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中,四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值?并求出该最大值或最小值．
答：
（1）抛物线方程y=-x2+2x+3,令y=0,x1=-1,x2=3；令x=0,y=3
故点A(-1,0),点B（3,0）,点C（0,3）

（2）BD直线为y=-√3x+3√3,BD与x轴的夹角为120°；交y轴于点D(0,3√3)；交对称轴x=1于点C（1,2√3）；对称轴x=1交x轴于点E（1,0）.
AC直线为：y-0=（x+1)(2√3-0)/(1+1),即：y=√3x+√3,故AC与x轴的夹角为60°.
①设点P（p,0）,AP=p+1,BP=3-p
点M[-1+(p+1)cos60°,0+(p+1)sin60°],即：M[(p-1)/2,√3(p+1)/2]
同理：点N为[(p+3)/2,√3(3-p)/2]
AN^2=[(p+3)/2+1]^2+[√3(3-p)/2-0]^2=p^2-2p+13
BM^2=[(p-1)/2-3]^2+[√3(p+1)/2-0]^2=p^2-2p+13
故：AN^2=BM^2
所以：AN=BM
②
S四边形AMNB
=S△ABM+S△BNM
=AB*点M到x轴的距离/2+BN*点M到BD的距离/2
=4*√3(p+1)/2/2+BP*点M到BD的距离/2
=√3(p+1)+(3-p)[|√3(p-1)/2+√3(p+1)/2-3√3|/√(3+1)]/2
=√3(p+1)+√3(3-p)^2/4
=(√3/4)(p^2-2p+13)
=(√3/4)[(p-1)^2+12]
当p=1时即点P（1,0）,四边形AMNB的面积有最小值3√3