证明元素为0,1的三阶行列式之值只能是0,正负1,正负2.

Question

证明元素为0,1的三阶行列式之值只能是0,正负1,正负2.

Answer 1

用展开定理证明.
|A| = |(aij)|
= a11A11 + a12A12 + a13A13
= a11M11 - a12M12 + a13M13
对2阶行列式 M11,M12,M13,其中的元素都也都是 0,1
易知 Mij 取值范围是 0,1,-1
所以只需证明 |A| 不等于3和-3
也就是要排除 a11,a12,a13 都是1,而 M11,M12,M13 分别为 1,-1,1 或 -1,1,-1
A的2,3行构成的列的取法 只能是 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T,(0,0)^T
而取到(0,0)^T 或 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T 中取到两个相同的,都会导致M11,M12,M13中某一个为0
所以A的2,3行构成的列只能是 (1,1)^T,(1,0)^T,(0,1)^T 的一个排列,比如
1 1 0
1 0 1
M11,M12,M13 分别为 1,1,1
这类排列共有6种,逐一排除,即得M11,M12,M13 不可能分别为 1,-1,1 或 -1,1,-1
所以|A|只能是0,正负1,正负2.
更高级 的做法还没想到.