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设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0.又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为13.试确定a、b、c,使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小.
题目详情
设抛物线y=ax2+bx+c过原点,当0≤x≤1时,y≥0.又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为
.试确定a、b、c,使此图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积V最小.
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▼优质解答
答案和解析
解;∵抛物线y=ax2+bx+c过原点
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为
即:
(ax2+bx)dx=
∴
a+
b=
∴b=
(1−a)
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π
(ax2+bx)2dx=π•[
x5+
x4+
x3
=π[
+
+
]=π[
a2+
a+
]
∴V′(a)=π•(
a+
)
令V′(a)=0,得:a=−
又V″(a)=
>0
∴a=−
是V(a)的唯一极小值点
∴a=−
是V(a)的最小值点
此时,解得:b=
∴a=−
,b=
,c=0
∴c=0
又抛物线与x轴及直线x=1所围图形的面积为
1 |
3 |
即:
∫ | 1 0 |
1 |
3 |
∴
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
∴b=
2 |
3 |
∴图形绕x轴旋转一周而围成的旋转体的体积
V=π
∫ | 1 0 |
a2 |
5 |
ab |
2 |
b2 |
3 |
] | 1 0 |
a2 |
5 |
ab |
2 |
b2 |
3 |
2 |
135 |
1 |
27 |
4 |
27 |
∴V′(a)=π•(
4 |
135 |
1 |
27 |
令V′(a)=0,得:a=−
5 |
4 |
又V″(a)=
4π |
135 |
∴a=−
5 |
4 |
∴a=−
5 |
4 |
此时,解得:b=
3 |
2 |
∴a=−
5 |
4 |
3 |
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