在直线和双曲线的位置关系中、如果直线和双曲线只有一个交点我们知道有两种思考方式一种是利用判别式求直线和双曲线相切的情况.另一种是直线和渐近线平行.那么为什么要分这两种情

Question

在直线和双曲线的位置关系中、如果直线和双曲线只有一个交点
我们知道有两种思考方式 一种是利用判别式 求直线和双曲线相切的情况.另一种是直线和渐近线平行.那么为什么要分这两种情况呢、 联立方程的目的就是求交点啊、判别式就是用来判断有几个解 即几个交点的啊、为何不包括直线和渐近线平行的情况呢、为什么判别式等于0 直线就一定和双曲线相切 而不是和渐近线平行呢.

Answer 1

举个例子好理解,我们设双曲线y=1/x与过点（1,-1）的直线只有一个交点,现在求直线方程.
判别式法如下：设直线方程为y=k(x-1)-1,与y=1/x联立方程组为
y=k(x-1)-1①
y=1/x②
把②I代入①,消去y整理得关于x的方程
kx^2-(k+1)^2-1=0③
由交点唯一得△=(k+1)^2+4k=0
解得k=-3±2√2
所以,直线为y=-3±2√2(x-1)-1
为什么只有两条直线?明明x=1和y=-1也满足条件啊!
分析：①是用点斜式描述直线,所以漏掉了当直线斜率不存在即与y轴平行的情况.
③用判别式法的必要条件是k≠0,所以漏掉了k=0,即与x轴平行的情况.
解决：必须分直线与渐进线平行和相切（用判别式法）情况分别讨论.
说明：这说明不同的直线形式都有缺点,本题如果引进一般形式,设直线方程为ax+by+c=0（ab不同时为0）则就不会遗漏了.分b=0和b≠0两种情况,b≠0时再分a=0和a≠0讨论.结果与上面一致.