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如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)将
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如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
②当t=1时,射线AB上存在点Q,使△QME为直角三角形,请直接写出点Q的坐标.
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).
①设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
②当t=1时,射线AB上存在点Q,使△QME为直角三角形,请直接写出点Q的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)设所求函数关系式为y=a(x-2)2+4,
把(0,0)代入解析式得a(0-2)2+4=0,
解得,a=-1,
故函数解析式为y=-(x-2)2+4,
整理得y=-x2+4x.
(2)存在.
①∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动;
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动,设它们的运动时间为t秒,
依题意,点P的坐标为:(t,t),点N的坐标为:(t,-t2+4t),
故PN=-t2+3t,
则有:当PN=0,
即t=0或t=3时,分别如图1,2,
P、N、C、D所构成的多边形为三角形,
此时S=
DC•AD=
×3×2=3,
当PN≠0时,如图3,
P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形,
∵PN∥CD,AD⊥DC,
∴S=
(CD+PN)•AD,
=
[3+(-t2+3t)]×2,
=-t2+3t+3,
=-(t-
)2+
(0≤t≤3),
∴当t=
时,S最大=
>3,
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值,这个最大值为:
;
②如图4,作点M作MG⊥AB于点G,作MH⊥x轴于点H,
∵M(2,4),E(4,0),
则EH=2,MH=4,MG=2-1=1,
设点Q的坐标为(1,m),
若∠QME=90°,则△MGQ∽△MHE,
∴MG:GQ=MH:EH,
∴1:GQ=4:2,
解得:GQ=0.5,
∴m=4-0.5=3.5,
∴点Q的坐标为(1,3.5);
若∠MQE=90°,则△MGQ∽△QAE,
∴MG:GQ=AQ:AE,
∴1:(4-m)=m:3,
解得:m=1或m=3,
∴点Q的坐标为(1,1)或(1,3);
若∠QEM=90°,则点Q在BA的延长线上,不符合题意.
综上所述:点Q的坐标为:(1,3.5),(1,1),(1,3).
把(0,0)代入解析式得a(0-2)2+4=0,
解得,a=-1,
故函数解析式为y=-(x-2)2+4,
整理得y=-x2+4x.
(2)存在.
①∵将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从左图所示位置沿x轴的正方向匀速平行移动;
同时AB上一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速运动,设它们的运动时间为t秒,
依题意,点P的坐标为:(t,t),点N的坐标为:(t,-t2+4t),
故PN=-t2+3t,
则有:当PN=0,
即t=0或t=3时,分别如图1,2,
P、N、C、D所构成的多边形为三角形,
此时S=
1 |
2 |
1 |
2 |
当PN≠0时,如图3,
P、N、C、D四点所构成的多边形是四边形,
∵PN∥CD,AD⊥DC,
∴S=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=-t2+3t+3,
=-(t-
3 |
2 |
21 |
4 |
∴当t=
3 |
2 |
21 |
4 |
综上可知P、N、C、D所构成的多边形的面积S有最大值,这个最大值为:
21 |
4 |
②如图4,作点M作MG⊥AB于点G,作MH⊥x轴于点H,
∵M(2,4),E(4,0),
则EH=2,MH=4,MG=2-1=1,
设点Q的坐标为(1,m),
若∠QME=90°,则△MGQ∽△MHE,
∴MG:GQ=MH:EH,
∴1:GQ=4:2,
解得:GQ=0.5,
∴m=4-0.5=3.5,
∴点Q的坐标为(1,3.5);
若∠MQE=90°,则△MGQ∽△QAE,
∴MG:GQ=AQ:AE,
∴1:(4-m)=m:3,
解得:m=1或m=3,
∴点Q的坐标为(1,1)或(1,3);
若∠QEM=90°,则点Q在BA的延长线上,不符合题意.
综上所述:点Q的坐标为:(1,3.5),(1,1),(1,3).
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