证明：以三角形的三条中线为边的新三角形面积,扥与原三角形面积的四分之三.

Question

证明：以三角形的三条中线为边的新三角形面积,扥与原三角形面积的四分之三.

Answer 1

设三角形ABC,三条中线AD、BE、CF相交于重心G,

延长GD至M,使DM=GD连结MB、MC,

四边形BGCM是平行四边形,

BG=CM,GM=2GD=AG,

BD=CD,

S△GCM=2S△CDG,

S△ABD=S△ADC=S△ABC/2,

根据重心的性质,

AG=2DG,

S△CDG=S△AGC/2==S△ADC/3=S△ABC/6,

S△GCM=S△ABC/3,

GC/CF=MC/BE=GM/AD=2/3,

设以三条中线为边的三角形是PQR,

△GMC∽△PQR,

S△GMC/S△PQR=（2/3)^2=4/9,

S△PQR=9S△GMC/4,

∴S△PQR=(9/4)*S△ABC/3=3S△ABC/4.