已知定义域为R的函数f（x）=a-23x+1（a∈R）是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；（3）求函数f（x）的值域．

Question

已知定义域为R的函数f（x）=a-(2)/(3x+1)（a∈R）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明你的结论；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

（1）若存在实数a使函数f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，
∴a=1．
下面证明a=1时f（x）=1-(2)/(3x+1)是奇函数，
∵f（-x）=1-(2)/(3−x+1)=1−(2•3x)/(1+3x)=-1+(2)/(1+3x)=-f（x），
∴f（x）=1-(2)/(3x+1)是R上的奇函数．
∴存在实数a=1，使函数f（x）为R上的奇函数．
（2）函数f（x）在R上的增函数．
证明：设x₁，x₂∈R且设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(2)/(3x2+1)−(2)/(3x1+1)=(3(3x1−3x2))/((3x1+1)(3x2+1))，
∵y=3^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2且（3 x1+1）（3 x2+1）＞0，
 则f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的增函数．
（3）f（x）=1-(2)/(3x+1)中
∵3^x+1∈（1，+∞），
∴(2)/(3x+1)∈(0，2)，
∴1-(2)/(3x+1)∈（-1，1）．
∴函数f（x）的值域为：（-1，1）．