已知，如图（1），PB为O的割线，直线PC与O有公共点C，且PC2=PA×PB，（1）求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是O的切线；（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求O的半径．

Question

已知，如图（1），PB为 O的割线，直线PC与 O有公共点C，且PC²=PA×PB，
（1）求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是 O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求 O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵PC²=PA×PB，
∴(PA)/(PC)=(PC)/(PB)，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC经过直径的一端点C，
∴直线PC是 O的切线；

‚（2） 作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴

AD

=

CE

，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE²=CE²+BC²=2²+6²=40，
∴BE=2√(10)，
∴ O的半径为√(10)．