如图甲所示，间距为d的平行金属板MN与一对光滑的平行导轨相连，平行导轨间距L=d2，一根导体棒ab以一定的初速度向右匀速运动，棒的右侧存在一个垂直纸面向里，大小为B的匀强磁场．棒进

Question

如图甲所示，间距为d的平行金属板MN与一对光滑的平行导轨相连，平行导轨间距L=(d)/(2)，一根导体棒ab以一定的初速度向右匀速运动，棒的右侧存在一个垂直纸面向里，大小为B的匀强磁场．棒进入磁场的同时，粒子源P释放一个初速度为0的带电粒子，已知带电粒子质量为m，电量为q．粒子能从N板加速到M板，并从M板上的一个小孔穿出．在板的上方，有一个环形区域内存在大小也为B，垂直纸面向外的匀强磁场．已知外圆半径为2d，里圆半径为d．两圆的圆心与小孔重合（粒子重力不计）
（1）判断带电粒子的正负，并求当ab棒的速度为v₀时，粒子到达M板的速度v；
（2）若要求粒子不能从外圆边界飞出，则v₀的取值范围是多少？
（3）若棒ab的速度v₀只能是(qBd)/(m)，则为使粒子不从外圆飞出，则可以控制导轨区域磁场的宽度S（如图乙所示），那该磁场宽度S应控制在多少范围内？

Answer 1

（1）根据右手定则知，a端为正极，故带电粒子必须带负电，
   
  ab棒切割磁感线，产生的电动势ɛ=B(d)/(2)v₀ ①
对于粒子，据动能定理：qU=qɛ=(1)/(2)mv^2_-0②．
联立①②两式，可得v=√((qBdv0)/(m))  ③；
（2）要使粒子不从外边界飞出，则粒子最大半径时的轨迹与外圆相切．
根据几何关系：（2d-r）²=r²+d² ④解得：r=(3)/(4)d，
由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(r)  ⑤
联立③④⑤可得：v₀=(9qBd)/(16m)，故ab棒的速度范围：v₀≤(9qBd)/(16m)；
（3）因为v₀=(qBd)/(m)＞(9qBd)/(16m)，所以如果让粒子在MN间一直加速，则必然会从外圆飞出，
所以如果能够让粒子在MN间只加速一部分距离，再匀速走完剩下的距离，就可以让粒子的速度变小了，
设磁场宽度为S₀时粒子恰好不会从外圆飞出，此情况下
由④⑤可得粒子射出金属板的速度：v=at=(3qBd)/(4m)  ⑥
粒子的加速度：a=(qE)/(m)=(qU)/(md)=(q2B2d)/(2m2)  ⑦，
粒子速度v=at，解得：t=(3m)/(2qB)，
对于棒ab：s=vt=(3)/(2)d，
故磁场的宽度应s≤(3)/(2)d；
答：（1）粒子带负电，粒子到达M板的速度v=√((qBdv0)/(m))；
（2）若要求粒子不能从外圆边界飞出，v₀的取值范围是v₀≤(9qBd)/(16m)；
（3）那该磁场宽度S应控制在s≤(3)/(2)d范围内．