（2014•湖北模拟）如图所示，在平面直角坐标系内，第一、二象限存在场强大小均为E的匀强电场，第一象限的匀强电场沿y轴负方向，第二象限的匀强电场沿x轴正方向．在第四象限的等边三

Question

（2014•湖北模拟）如图所示，在平面直角坐标系内，第一、二象限存在场强大小均为E的匀强电场，第一象限的匀强电场沿y轴负方向，第二象限的匀强电场沿x轴正方向．在第四象限的等边三边角形△ABC区域内存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，其中A点坐标为（2l+(√(2))/(2)l，0）．三角形边长为2l，∠CAO=45°．在第二象限点M（-l，l）处有一静止的带电粒子，带电粒子的电荷量为+q，质量为m．将点M处的带电粒子由静止释放，粒子从x轴上N点进入第四象限，不计粒子重力，试求：
（1）N点的横坐标，粒子进入第四象限的速度的大小和方向；
（2）若粒子进入磁场后能从AC边离开磁场，试确定磁感强度B₀的取值范围；
（3）粒子从AC边离开磁场时离A点最远的情况下在磁场中运动的时间．

Answer 1

（1）带电粒子在第二象限中做匀加速直线运动，设进入第一象限的速度是v ₁，则：
(1)/(2)m

v

2 1

＝qEl
得：v1＝√((2qEl)/(m))
粒子在第一象限在做类平抛运动，
x=v₁t₂；
l＝(1)/(2)a

t

2 2

；a＝(qE)/(m)
解得：x=2l
粒子在竖直方向上 速度：v_y=at₂=v₁
粒子进入第四象限时的速度大小：v＝√(v21+v2y)＝√(2)v1=2√((qEl)/(m))
方向：tanθ＝(vy)/(v1)＝1
所以粒子进入第四象限时与x轴的夹角是45°．
（2）根据题意画出粒子的运动轨迹如图，设粒子从AC边上的F点进入磁场，由题：

.

AN

＝2l+(√(2))/(2)l−2l＝(√(2))/(2)l
所以：

.

AF

＝(√(2))/(2)l•sin45°＝(1)/(2)l
磁感应强度越大，粒子在磁场中运动的半径越小，当粒子运动的轨迹与bc边相切时，磁感应强度有最小值；
根据几何关系得：R＝((3)/(2)l−R)sin60°
由洛伦兹力提供向心力得：qvBm＝(mv2)/(R)
联立解得：Bm＝(4(2√(3)+3))/(9)√((mE)/(ql))
所以磁感应强度的范围是：B0≥(4(2√(3)+3))/(9)√((mE)/(ql))
（3）粒子从AC边离开磁场时离A点最远的情况下，B ＝(4(2√(3)+3))/(9)√((mE)/(ql))
粒子在磁场中运动了半个圆周，所以：t＝(1)/(2)T
又：T＝(2πR)/(v)＝(2πm)/(qB)
所以：t＝(πm)/(qB)＝(9π)/(4(2√(3)+3))•√((ml)/(qE))
答：（1）N点的横坐标，粒子进入第四象限的速度的大小是2√((qEl)/(m))，方向与x轴成45°角向右下；
（2）若粒子进入磁场后能从AC边离开磁场，确定磁感强度B₀的取值范围是B0≥(4(2√(3)+3))/(9)√((mE)/(ql))；
（3）粒子从AC边离开磁场时离A点最远的情况下在磁场中运动的时间是t＝(9π)/(4(2√(3)+3))•√((ml)/(qE))．