（2011•成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、

Question

（2011•成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=(1)/(3)a（a为大于零的常数），求BK的长：
（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；

（2）∵AB=a，AD=(1)/(3)a=BC，
∴AC=√(AB2+BC2)=√(a2+((1)/(3)a)2)=(a)/(3)√(10)
∵BK⊥AC，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由三角形的面积公式得：(1)/(2)AB×BC=(1)/(2)AC×BK，
∴a×(1)/(3)a=(√(10))/(3)a×BK，
∴BK=(√(10))/(10)a．

（3）DG是圆的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F为EG中点，
∴EF=(1)/(2)EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=(1)/(2)BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比为1：2，
∴EF为△ABK的中位线，
∴