设数列Un和Vn有相同的极限A,求证,若Xn等于Un-Vn,则LimXn等于0

Question

设数列Un和Vn有相同的极限A,求证,若Xn等于Un-Vn,则LimXn等于0

Answer 1

直接计算：
lim xn
=lim un-vn
因为un,vn极限存在,根据极限的加法运算,
=lim un - lim vn
=a-a
=0
用定义来证就是：
因为
lim un=a
lim vn=a
故由定义：
任意ε>0,存在N1>0,当n>N1,有|un-a|0,存在N2>0,当n>N2,有|vn-a|0,取N=max{N1,N2},当n>N,就有
|xn-0|
=|un-vn|
=|un-a+a-vn|
≤|un-a|+|vn-a|