如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=12（AD+AB）．问：∠1和∠2有何关系？

Question

如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=(1)/(2)（AD+AB）．问：∠1和∠2有何关系？

Answer 1

略证：∠1与∠2互补．
法1：作CF⊥AN于F（如图），
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
Rt△ACF≌Rt△ACE，
∴AF=AE．
∵AE=(1)/(2)（AD+AB）=(1)/(2)（AF-DF+AE+EB）=AE+(1)/(2)（BE-DF），
∴BE-DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°；

法2：在AM上截取AF=AD，连接CF（如图），
∵∠3=∠4，AC为公共边，
∴△ADC≌△AFC，
∴∠1=∠5，
∵AE=(1)/(2)（AD+AB）=(1)/(2)（AF+AE+EB）=(1)/(2)（AE-EF+AE+EB），
∴EB-EF=0，所以EF=EB，
又∵CE⊥AB，
∴BC=FC，∴∠2=∠6，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2=180°．