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设n阶方阵,A不等于0,A的m次方等于0,求A的特征值并证明A不相似于对角矩阵
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设n阶方阵,A不等于0,A的m次方等于0,求A的特征值
并证明A不相似于对角矩阵
并证明A不相似于对角矩阵
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答案和解析
设a是A的特征值,则对任意多项式f,若f(A)=0则f(a)=0（特征值都是最小多项式的根,最小多项式整除任意化零多项式,所以特征值是任意化零多项式的根）.现在f(A)=A^m=0,所以f(a)=a^m=0,必有a=0.
已知A的特征值全为0,若A可对角化,则A相似于对角元（即特征值）全为0的矩阵,即零矩阵.所以A=0,和条件矛盾.所以A不可能对角化
已知A的特征值全为0,若A可对角化,则A相似于对角元（即特征值）全为0的矩阵,即零矩阵.所以A=0,和条件矛盾.所以A不可能对角化
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