已知函数(a≥0)为函数f(x)的导函数．(1)若f(x)在x=-3处取到极大值-2，求a，b的值；(2)若函数，求函数g(x)的单调区间．

Question

已知函数(a≥0)为函数f(x)的导函数．
(1)若f(x)在x=-3处取到极大值-2，求a，b的值；
(2)若函数，求函数g(x)的单调区间．____

Answer 1

【分析】(1)根据题意得到：f'(x)=x²+ax+1，结合f(x)在x=-3处取到极大值-2可得关于a与b的方程组，进而求出a与b的数值．
\n(2)由(1)可得：g'(x)=-x[ax+(a²-2)]e^-ax=-ax[x-()]e^-ax，结合解一元二次不等式的知识对a进行分类讨论，进而求出函数的得到区间．

(1)因为f(x)=x³+ax²+x+b(a≥0)，
\n所以f'(x)=x²+ax+1．
\n因为f(x)在x=-3处取到极大值-2，
\n所以，即，
\n解得a=，b=-5．
\n(2)由(1)可得：f'(x)=x²+ax+1，
\n所以g(x)=e^-ax•f'(x)=(x∈R)，
\n所以g'(x)=-x[ax+(a²-2)]e^-ax=-ax[x-()]e^-ax．
\n①当a=0时，g'(x)=2x，
\n所以g(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)．
\n②当a>0时，令g'(x)=0解得x=0或x=．
\n(i)当时，即时，
\n则g'(x)>0的解集为，g'(x)<0的解集为(-∞，0)，(，+∞)，
\n所以g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(-∞，0)，(，+∞)．
\n(ii)当，即a=时，则g'(x)=≤0，
\n所以g(x)在(-∞，+∞)上单调递减．
\n(iii)当，即a>时，
\n则g'(x)>0的解集为，g'(x)<0的解集为(-∞，)，(0，+∞)．
\n所以g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(-∞，)，(0，+∞)．
\n总上所述：
\n当a=0时，g(x)的单调递增区间为(0，+∞)，单调递减区间为(-∞，0)．
\n当时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(-∞，0)，(，+∞)．
\n当a=时，g(x)在(-∞，+∞)上单调递减．
\n当a>时，g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(-∞，)，(0，+∞)．

【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，以及考查含参数的一元二次不等式问题．