应用锐角三角比的定义，求15°和75°的三角比的值.

Question

应用锐角三角比的定义，求15°和75°的三角比的值.____

Answer 1

【分析】方法一：根据条件构造与条件有关的Rt△ABC，其中∠C=90°，∠BAC=30°，然后延长CA到P，使AP=AB，根据三角形内角和定理的推论，即得，然后解Rt△PBC即可.
方法二：根据条件构造Rt△ABC，其中∠C=90°，∠B=30°，然后在直角边BC上截取CD=AC，并作DE⊥AB，E为垂足，然后解Rt△ADE即可.
方法三：首先作Rt△ABC和Rt△ACD，其中∠B=30°，∠ADC=45°，然后作DE⊥BA，E为垂足，此时易知∠ADE=15°，继而在Rt△ADE中可利用三角比的定义求解.

方法一：如图①，作Rt△ABC，使∠C=90°，∠BAC=30°；延长CA到P，使AP=AB，连结PB.

设BC=a，
则，AB=2a，，
所以，
.
在Rt△PBC中，
，
，
，
，
根据同角三角函数关系式中的互余关系即得：
，
，
，
.
方法二：如图②，作Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°，
在直角边BC上截取CD=AC，

设AC=a，则AB=2a，，CD=a，，.
如图，作DE⊥AB，E为垂足.
在Rt△ADE中，
∠DAE=60°-45°=15°，∠ADE=75°，
在Rt△BDE中，，.
在Rt△ADE中，，.
15°、75°的其余三角比的值，求法同解法一.
方法三：如图③，作Rt△ABC和Rt△ACD，使∠B=30°，∠ADC=45°.

设AC=a，则，AB=2a，CD=a，.
如图，作DE⊥BA，E为垂足.
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°+45°=75°，∠ADE=15°，
∴，，
，
∴在Rt△ADE中，，
.
15°、75°的其余三角比的值，求法同解法一.

【点评】解答本题的关键在于构造直角三角形把求非特殊角的三角比的问题转化为解直角三角形的问题.