在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形

Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且acosB+acosC=b+c，则△ABC的形状是（　　）
A. 等边三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 直角三角形

Answer 1

解法1：∵cosB ＝(a2+c2−b2)/(2ac)，cosC ＝(a2+b2−c2)/(2ab)，
∴acosB+acosC=a•(a2+c2−b2)/(2ac)+a•(a2+b2−c2)/(2ab)=(a2•b +b•c2−b3+b2• c+a2•c−c3)/(2bc)=(a2(b +c)+bc(b+c)−b3−c3)/(2bc)
=(a2(b +c)+bc(b+c)−(b+c)(b2−bc+c2))/(2bc)=b+c，∵b+c＞0，
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，
∴a²=b²+c²，
故选D．
解法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故选D．