已知函数f（x）=x2+(4a-3)x+3a，x<0loga(x+1)+1，x≥0，（a>0，且a≠1）在R上单调递减．（1）a

Question

已知函数f（x）=

x2+(4a-3)x+3a，x<0

loga(x+1)+1，x≥0

，（a>0，且a≠1）在R上单调递减．
（1）a的取值范围是___；
（2）若关于x的方程|f（x）|=2-x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是___．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴

-(4a-3)/(2)≥0

3a≥1

0<a<1

，解得(1)/(3)≤a≤(3)/(4)．
（2）∵y=log_a（x+1）+1是减函数，且f（0）=1，
∴y=|log_a（x+1）+1|与y=2-x在（0，+∞）上必有一解，
∴y=x²+（4a-3）x+3a=2-x在（-∞，0）上必有一解．
即x²+（4a-2）x+3a-2=0在（-∞，0）上有一解，
∴

(4a-2)2-4(3a-2)=0

-(4a-2)/(2)<0

或

(4a-2)2-4(3a-2)>0

3a-2≤0

，
解得a=(3)/(4)或(1)/(3)≤a≤(2)/(3)．
故答案为：[(1)/(3)，(3)/(4)]，[(1)/(3)，(2)/(3)]∪{(3)/(4)}．