早教吧作业答案频道 -->数学-->
设x∈（0，1），证明（1+x）ln2（1+x）＜x2．
题目详情
设x∈（0，1），证明（1+x）ln2（1+x）＜x2．
▼优质解答
答案和解析
令g（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2，则g（0）=0．
因为当x∈（0，1）时，
g′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，g′（0）=0，
g″（x）=
[ln(1+x)−x]，g″（0）=0，
g″′（x）=−
＜0，
故g″（x）在（0，1）上严格单调减，则有g″（x）＜g″（0）=0；
g′（x）在（0，1）上严格单调减，则有g′（x）＜g′（0）=0；
g（x）在（0，1）上严格单调递减，则有g（x）＜g（0），
即：（1+x）ln2（1+x）＜x2．
因为当x∈（0，1）时，
g′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x，g′（0）=0，
g″（x）=
| 2 |
| 1+x |
g″′（x）=−
| 2ln(1+x) |
| (1+x)2 |
故g″（x）在（0，1）上严格单调减，则有g″（x）＜g″（0）=0；
g′（x）在（0，1）上严格单调减，则有g′（x）＜g′（0）=0；
g（x）在（0，1）上严格单调递减，则有g（x）＜g（0），
即：（1+x）ln2（1+x）＜x2．
看了 设x∈（0，1），证明（1+...的网友还看了以下：
设x>-1且x不等于0,①证明存在θ∈（0,1）,使得从0->x上的积分∫㏑（1+t）dt=㏑（1 2020-05-14 …
求证：对任何整数x(1),x(2),…x(14)都不能满足x(1)^4+x(2)^4+…x(14) 2020-06-03 …
1.7/x²-1+8/x²-2x=37-9x/x^3-x²-x+12.3/x²+x-2=x/x-1 2020-07-18 …
两道高数题1.已知f(x)=1+x的m次方*（1-x）的n次方,其中m,n为正整数,不经计算f'( 2020-07-20 …
函数f(x)＝lnx−a(x−1)x(x＞0，a∈R)．（1）试求f（x）的单调区间；（2）当a＞ 2020-08-03 …
已知函数f(X)=(1+X)e＾(-2X),g(x)=ax+(X＾3)/2+1+2XcosX,当X∈ 2020-10-31 …
已知函数f(x)=(1-x)e^x-1(1)求证：当x＞0时,f(x)＜0；(2)数列xn满足xne 2020-10-31 …
设a＞0,函数f（x）=lnx-ax,g（x）＝lnx-2(x-1)/(x+1).(1)证明：当x> 2020-10-31 …
2014全国卷理科数学答案设函数f(x0)=ae^xlnx+be^x-1/x,曲线y=f(x)在点（ 2020-11-21 …
观察下列各式.(x-1)(x+1)=x平方-1(x-1)(x平方+x+1)=x三次方-1(x-1)( 2021-01-01 …