若关于x的方程|x|x+4＝kx2有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是．

Question

若关于x的方程(|x|)/(x+4)＝kx2有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

方程(|x|)/(x+4)＝kx2有四个不同的实数解，
x=0是方程的1个根，
当x≠0时方程变为k|x|＝(1)/(x+4)①．
要使方程①有3个不为0的实数根，
则函数y=k|x|和y=(1)/(x+4)应有3个不同的交点，
如图，
k＜0显然不成立，当k＞0时y=kx（x＞0）与y＝(1)/(x+4)有一个交点，
只需y=-kx（x＜0）和y＝(1)/(x+4)有两个交点即可，
联立

y＝−kx

y＝(1)/(x+4)

，得kx²+4kx+1=0．
由△=（4k）²-4k=0，得k=(1)/(4)．
∴k＞(1)/(4)时y=-kx（x＜0）和y＝(1)/(x+4)有两个交点．
综上，关于x的方程(|x|)/(x+4)＝kx2有四个不同的实数解的实数k的取值范围是((1)/(4)，+∞)．
故答案为：（(1)/(4)，+∞）．