求积分∫sinxcosxdx/（1+sin^4（x））?原式=1/4∫sin2xd2x/(1+sin^4x)=1/2∫d((1-cos2x)/2)/(1+sin^4x)=1/2∫dsin^2x/(1+sin^4x)=1/2arctan(sin^2x)+c错在哪？答案是1/2arctan(2tan^2x+1)+c

Question

求积分∫sinxcosxdx/（1+sin^4（x））?
原式=1/4∫sin2xd2x/(1+sin^4x)=1/2∫d((1-cos2x)/2)/(1+sin^4x)=1/2∫dsin^2x/(1+sin^4x)
=1/2arctan(sin^2x)+c
错在哪？答案是1/2arctan(2tan^2x+1)+c

Answer 1

你的做法是对的,答案是错的!答案应该是1/4arctan(2tan^2x+1)+c才对.
检验的方法是：把答案求导数.如果所求出的导数等于原积分的被积函数,此答案就是正确的.否则,此答案就是错误的.
不过,你的解答方法绕了个圈,走了点弯路.简洁的解法如下.
原式=∫snixd(sinx)/[1+(sin²x)²] (cosxdx=d(sinx))
=1/2∫d(sin²x)/[1+(sin²x)²] (sinxd(sinx)=1/2d(sin²x))
=1/2arctan(sin²x)+C (C是积分常数).