（必做题）已知等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）10n=1an的值；（2）10n=1nan的值．

Question

（必做题）
已知等式（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_i（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：
（1）

10

n=1

a_n的值；
（2）

10

n=1

na_n的值．

Answer 1

（1）∵（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，
∴令x=-1得：1⁵=a₀，即a₀=1，
再令x=0，有a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=2⁵，
∴

10

n=1

a_n=a₁+a₂+…+a₁₀=2⁵-a₀=31；
（2）∵（x²+2x+2）⁵=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₁₀（x+1）¹⁰，
∴两边求导得：5（x²+2x+2）⁴•（2x+2）=a₁+2a₂（x+1）+3a₃（x+1）²+…+10a₁₀（x+1）⁹，
令x=0得：5×2⁴×2=a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀，
即

10

n=1

na_n=a₁+2a₂+3a₃+…+10a₁₀
=160．