关于您询问的∫A（x）dxA（x）=（a1sinx+b1cosx）/(asinx+bcosx)dx(a^2+b^2≠0即a、b不同时为零如何把这三角有理式化成形如∫R（tanx）dx的积分形式,再用换元法来求出积分.

Question

关于您询问的∫A（x）dx A（x）=（a1 sinx+b1 cosx）/(a sinx +b cosx) dx (a^2+b^2≠0 即a、b不同时为零
如何把这三角有理式化成形如∫R（tan x）dx 的积分形式,再用换元法来求出积分.

Answer 1

这道题,如果用tanx的万能公式代换的话比较麻烦,可以考虑把分母看作整体.分子可以拆成分母的k倍,然后余下的某一部分可以凑微分,整体移到d后面,恰好是分母的形式.意思就是
（a1 sinx+b1 cosx）/(a sinx +b cosx) dx = [k(a sinx +b cosx)+m(acosx-bsinx)]/(asinx+bcosx)dx 分子是可以写成这种形式的,k,m待定.解出k,m.那么积分就变成∫[k+m(acosx-bsinx)/(asinx+bcosx)]dx=∫kdx+∫m(acosx-bsinx)/(asinx+bcosx)dx=kx+∫m/(asinx+bcosx) d(asinx+bcosx)
=kx+m∫ 1/(asinx+bcosx) d(asinx+bcosx)=kx+mln|asinx+bcosx| .（asinx+bcosx看作整体的.注意绝对值符号保留.∫1/x=ln|x|）
所以,这要求出k,m即可.下面解之.
k(a sinx +b cosx)+m(acosx-bsinx)=a1sinx+b1cosx sinx,cosx系数对应相等.
ka-mb=a1①
kb+ma=b1② 关于k,m的方程,联立①、②,
k=(aa1+bb1)/(a²+b²) m=(ab1-a1b)/(a²+b²）.
所以,上述积分为kx+mln|asinx+bcosx|=(aa1+bb1)/(a²+b²) x+(ab1-a1b)/(a²+b²）ln|asinx+bcosx|