设a、b、c、d是奇整数，0＜a＜b＜c＜d，且ad＝bc．证明：如果对某整数k和m有a＋d＝2k和b＋c＝2m，那末a＝1．

Question

设 a 、 b 、 c 、 d 是奇整数， 0 ＜ a ＜ b ＜ c ＜ d ，且 ad ＝ bc ．证明：如果对某整数 k 和 m 有 a ＋ d ＝ 2 ^k 和 b ＋ c ＝ 2 ^m ，那末 a ＝ 1 ．

Answer 1

证明 ：因为 a[(a ＋ d) － (b ＋ c)]

＝ a ² ＋ ad － ab － ac ＝ a ² ＋ bc － ab － ac ＝ (a － b)(a － c) ＞ 0

所以 a ＋ d ＞ b ＋ c ，即 2 ^k ＞ 2 ^m ， k ＞ m ．

又由 ad ＝ bc ，有                          a(2 ^k － a) ＝ b(2 ^m － b)

2 ^m (b － 2 ^{k － m} a) ＝ b ² － a ² ＝ (b ＋ a)(b － a)

可知 2 ^m 整除 (b ＋ a)(b － a) ．但 b ＋ a 和 b － a 不能都被 4 整除 ( 因为它们的和是 2b ，而 b 是奇数 ) ，所以 2 ^{m － 1} 必整除 b ＋ a 或 b － a 之一．

因为 b ＋ a ＜ b ＋ c ＝ 2 ^m ，所以 b ＋ a ＝ 2 ^{m － 1} 或 b － a ＝ 2 ^{m － 1} ．

因为 a 、 b 是奇数，它们的公因数也是奇数，且是 b ＋ a 和 b － a 的因数，从而是 2 ^{m － 1} 的奇因数，即 1 ．所以 a 与 b 互质，同理 a 与 c 也互质．但由 ad ＝ bc ，知 a 能整除 bc ，故 a ＝ 1 ．