x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2−1高阶的无穷小，则正整数n等于（）A.1B.2C.3D.4

Question

x→0时，（1-cosx）ln（1+x²）是比xsinxⁿ高阶的无穷小，而xsinxⁿ是比ex2−1高阶的无穷小，则正整数n等于（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Answer 1

由等价无穷小可知
   1−cosx～(1)/(2)x2，ln（1+x²）～x²，sinxⁿ～xⁿ
∴

lim

x→0

((1−cosx)ln(1+x2))/(xsinxn)＝

lim

x→0

((1)/(2)x2*x2)/(x*xn)＝(1)/(2)

lim

x→0

x3−n＝0
∴n＜3
又∵xsinxⁿ是比ex2−1高阶的无穷小
∴

lim

x→0

(xsinxn)/(ex2−1)＝

lim

x→0

xn−1＝0
∴n＞1
故选：B．