如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝43，BE=2．（1）求FC的长；（2）判断FC是否是⊙的切线，并说明理由．

Question

如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD＝4√(3)，BE=2．
（1）求FC的长；
（2）判断FC是否是⊙的切线，并说明理由．

Answer 1

（1）连接OC，
∵AF为圆O的切线，
∴AF⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴AF∥CD，E为CD中点，即CE=DE=(1)/(2)CD=2√(3)，
∵FC∥AD，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴FC=AD，AF=CD
在Rt△OCE中，设OC=OB=r，则OE=OB-EB=r-2，
根据勾股定理得：OC²=CE²+OE²，即r²=（2√(3)）²+（r-2）²，
解得：r=4，
∴AE=AO+OE=4+2=6，
在Rt△ADE中，AD=√(AE2+ED2)=√(62+(2√(3))2)=4√(3)，
则FC=AD=4√(3)；
（2）FC为圆O的切线，理由为：
连接OF，
∵AF=CD=4

作业帮用户 2017-11-07

问题解析

（1）连接OC，由AF为圆O的切线，得到AF垂直于AB，再由AB垂直于CD，得到AF与CD平行，根据FC与AD平行，得到四边形ADCF为平行四边形，在直角三角形COE中，设OC=r，则OE=r-2，利用垂径定理求出CE的长，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，由OA+OE求出AE的长，在直角三角形AED中，利用勾股定理求出AD的长，即为FC的长；
（2）FC为圆O的切线，理由为：由AF=CD=4√(3)，FC=AD=4√(3)，得到AF=CF，再由OA=OC，OF=OF，利用SSS得到三角形AOF与三角形COF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OCF=∠OAF=90°，即可得证．

名师点评

本题考点：

切线的判定与性质．

考点点评：

此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

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