z^2-2|z|+1=0答案是-1和-（根号2+1)i怎么出来的?

Question

z^2-2|z|+1=0 答案是-1和-（根号2+1)i怎么出来的?

Answer 1

设z=a+bi（a、b是实数）
z²-2|z|+1=（a+bi）²-2√（a²+b²）+1=0
（a²-b²+1-2√（a²+b²））+2abi=0
复数相等,必须实部和虚部都相等.
所以2ab=0,a²-b²+1-2√（a²+b²）=0
由2ab=0得知,a=0或者b=0
当a=0时,a²-b²+1-2√（a²+b²）=1-b²-2|b|=0
|b|²+2|b|-1=0,|b|=（-2±√（2²+4））/2=（-1±√2）
因为|b|≥0,-1-√2＜0,舍去.所以|b|=-1+√2=√2-1
所以z=（√2-1）i或-（√2-1）i
当b=0时,a²-b²+1-2√（a²+b²）=a²+1-2|a|=0
|a|²-2|a|+1=0,|a|=1,a=±1
所以z=1或-1
所以z有4个解
z1=1,z2=-1,z3=（√2-1）i,z4=-（√2-1）i
代入方程验证,都正确.
题目中的-（根号2+1)i是错的.代入方程也可以知道,方程不成立.