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(1)已知二次函数y=(x-1)(x-3)的图象如图,请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移,新图象通过坐标原点?(2)在关于二次函数图象的研究中,秦篆晔同学发现抛物线
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(1)已知二次函数y=(x-1)(x-3)的图象如图,请根据图象直接写出该二次函数图象经过怎样的左右平移,新图象通过坐标原点?
(2)在关于二次函数图象的研究中,秦篆晔同学发现抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)和抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)关于y轴对称,基于协作共享,秦同学将其发现口诀化“a、c不变,b相反”供大家分享,而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反,b不变”,并按此法误写,然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称,请你写出小胡同学所写的与原抛物y=(x-1)(x-3)的对称图形的解析式,并研究其与原抛物线的具体对称情况;
(3)抛物线y=(x-1)(x-3)与x轴从左到右交于A、B两点,与y轴交于点C,M是其对称轴上一点,点N在x轴上,当点N满足怎样的条件,以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似,请写出所有满足条件的点N的坐标;
(4)E、F为抛物线y=(x-1)(x-3)上两点,且E、F关于D(
,0)对称,请直接写出E、F两点的坐标.
(2)在关于二次函数图象的研究中,秦篆晔同学发现抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)和抛物线y=ax2-bx+c(a≠0)关于y轴对称,基于协作共享,秦同学将其发现口诀化“a、c不变,b相反”供大家分享,而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了“a、c相反,b不变”,并按此法误写,然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线也对称,请你写出小胡同学所写的与原抛物y=(x-1)(x-3)的对称图形的解析式,并研究其与原抛物线的具体对称情况;
(3)抛物线y=(x-1)(x-3)与x轴从左到右交于A、B两点,与y轴交于点C,M是其对称轴上一点,点N在x轴上,当点N满足怎样的条件,以点N、B、C为顶点的三角形与△MAB有可能相似,请写出所有满足条件的点N的坐标;
(4)E、F为抛物线y=(x-1)(x-3)上两点,且E、F关于D(
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▼优质解答
答案和解析
(1)二次函数y=(x-1)(x-3)与x轴的交点是(1,0)和(3,0).
抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点;
(2)y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
∵小胡同学听成了a与c相反,b不变.
∴y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1,顶点坐标是(-2,1),
故与原抛物线关于原点对称;
(3)∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上,
∴MA=MB,即△MAB为等腰三角形,
又∵△MAB与△NBC相似,
∴△NBC是等腰三角形.
∵N在x轴上,
∴∠CBN=45°或135°.
当∠CBN=135°时,即N点在B的右侧且BC=BN,则N的坐标是(3+3
,0);
当∠CBN=45°时,即N在点B的左侧,
若△MAB的底角为45°,此时三角形为等腰直角三角形,则N的坐标是(0,0)或(-3,0);
若△MAB的顶角是45°时,在△NBC中,BC=BN=3
,则N的坐标是(3-3
,0);
(4)设E的坐标是(a,a2-4a+3),
由点E与F关于点D(
,0)对称,则可得F(3-a,a2-2a),
∴点E和点F的纵坐标互为相反数,即a2-4a+3+a2-2a=0,
解得:a1=
,a2=
(舍去),
∴E的纵坐标是(
,
),F的坐标是(
,-
抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点;
(2)y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3.
∵小胡同学听成了a与c相反,b不变.
∴y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1,顶点坐标是(-2,1),
故与原抛物线关于原点对称;
(3)∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上,
∴MA=MB,即△MAB为等腰三角形,
又∵△MAB与△NBC相似,
∴△NBC是等腰三角形.
∵N在x轴上,
∴∠CBN=45°或135°.
当∠CBN=135°时,即N点在B的右侧且BC=BN,则N的坐标是(3+3
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当∠CBN=45°时,即N在点B的左侧,
若△MAB的底角为45°,此时三角形为等腰直角三角形,则N的坐标是(0,0)或(-3,0);
若△MAB的顶角是45°时,在△NBC中,BC=BN=3
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(4)设E的坐标是(a,a2-4a+3),
由点E与F关于点D(
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∴点E和点F的纵坐标互为相反数,即a2-4a+3+a2-2a=0,
解得:a1=
3-
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3+
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∴E的纵坐标是(
3-
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3+
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