如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°后得到线段CE，AE与BD交于点F，若DF=2，EF=2

Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，将AB边绕点A逆时针旋转90°得到线段AD，将AC边绕点C顺时针旋转90°后得到线段CE，AE与BD交于点F，若DF= √(2)，EF=2 √(2)，则BC边的长为___．

Answer 1

如下图所示：

过点C作CG⊥BC，交BD于点G，连接EG，
易证CG=BC，∠BCA=∠GCE，AC=CE，
∴△ABC≌△EGC，
∴GE=AB=AD，∠CEG=∠CAB，
∵∠DAE=90°-45°-∠BAC=45°-∠BAC，而∠AEG=45°-∠CEG，
∴∠DAE=∠AEG
又∵∠AFD=∠EFG（对顶角相等），GE=AD，
∴△AFD≌△EFG，
∴AF=EF，DF=GF，
∴AE=2EF=4√(2)，DG=2√(2)，
∴AC=CE=4
设BC=CG=a，则BG=√(2)a
∴BD=√(2)a+2√(2)，AD=AB=a+2，
在RT△ABC中，（a+2）²+a²=4²，
解得a=-√(7)-1（舍去）或a=√(7)-1，
   即：BC边的长为√(7)-1