已知a∈R，函数f（x）=+lnx-1，g（x）=（lnx-1）ex+x（其中e为自然对数的底数），（1）判断函数f（x）在(0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x0∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x0处

Question

已知a ∈R，函数f（x）= +lnx-1，g（x）=（lnx-1）e ^x +x（其中e为自然对数的底数），
（1）判断函数f（x）在(0，e]上的单调性；
（2）是否存在实数x ₀ ∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x ₀ 处的切线与y轴垂直? 若存在，求出x ₀ 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若实数m，n满足m＞0，n＞0，求证： 。

Answer 1

（1 ）∵ ， ，
∴ ，
①若 ，则 ， 在 上单调递增； 
②若 ，当 时， ，函数 在区间 上单调递减；
当 时， ，函数 在区间 上单调递增；
③若 ，则 ，函数 在区间 上单调递减。
（2）∵ ， ，
，
由（1）易知，当 时，
在 上的最小值： ，
即 时， ，
又 ，∴ ，
曲线 在点 处的切线与 轴垂直等价于方程 有实数解，
而 ，即方程 无实数解，
故不存在。
（3）证明：
，
由（2）知 ，
令

作业帮用户 2017-11-14

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