求这个微分方程的确切解,u''+u=x^20

Question

求这个微分方程的确切解,u''+u=x^2 0

Answer 1

先解齐次微分方程u''+u=0的通解.
利用特征根方程有λ^2+λ=0,解得λ=±i.齐次微分方程的通解为u(x)=C1cosx+C2sinx.
再求出非齐次微分方程u''+u=x^2的特解.利用微分算子D比较简单.定义D(f)=f'.
原式化为(D^2+1)u*=x^2,即u*=x^2/(D^2+1).
将1/(D^2+1)Taylor级数展开有1/(D^2+1)=1-D^2+o(D^2),因为指数比2大的微分算子对于x^2无意义,微分后全是0了,所以只需写到D^2即可.
则u*=x^2/(D^2+1)=(1-D^2)x^2=x^2-2,这就是特解.
所以原方程的解u(x)=C1cosx+C2sinx+x^2-2
再代入u(0)=0,u'(1)=1解得：C1=2,C2=2tan1-sec1
所以,最后得到u(x)=2cosx+(2tan1-sec1)sinx+x^2-2