已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.试说明:BD=DE+CE.

Question

已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.
试说明:BD=DE+CE.

Answer 1

延长AE到F,使EF=CE

则 DF=DE+CE

连接BF,设AE与BC的交点为G

在三角形ABG和三角形FCG中

<AGB=<FGC (对顶角相等）

∵三角形ABC是等腰直角三角形,

∴<ABG=45º

∵三角形CEF是等腰直角三角形

∴<CFG=45º=<ABG

∴三角形ABG∽三角形FCG

∴<BAG=<FCG

∴A,C,F,B 四点共圆

∴<AFB=<ACB=45º

∵BD⊥AE

∴三角形BDF是等腰直角三角形

∴BD=DF=DE+CE