欧拉公式e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)的推导过程

Question

欧拉公式
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x)的推导过程

Answer 1

用泰勒多项式推的.
e^ix=cosx+isinx的证明：
因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1 ……（注意：其中”〒”表示”减加”）
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx