已知：抛物线y=ax2+bx-3经过点A（7，-3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．（1）求m的值；（2）求这条抛物线的表达式；（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQ

Question

已知：抛物线y=ax²+bx-3经过点A（7，-3），与x轴正半轴交于点B（m，0）、C（6m、0）两点，与y轴交于点D．

（1）求m的值；
（2）求这条抛物线的表达式；
（3）点P在抛物线上，点Q在x轴上，当∠PQD=90°且PQ=2DQ时，求点P、Q的坐标．

Answer 1

（1）当x=0时，y=-3，
∴D（0，-3）．
设抛物线的解析式为y=a（x-m）（x-6m）．
把点D和点A的坐标代入得：6am²=-3①，a（7-m）（7-6m）=-3②，
∴a（7-m）（7-6m）=6am²．
∵a≠0，
∴（7-m）（7-6m）=m²．
解得：m=1．

（2）∵6am²=-3，
∴a=-(3)/(6m2)=-(1)/(2)．
将a=-(1)/(2)，m=1代入得：y=-(1)/(2)x²+(7)/(2)x-3．
∴抛物线的表达式为y=-(1)/(2)x²+(7)/(2)x-3．

（3）如图所示：过点P作PE⊥x轴，垂足为E．

设点Q的坐标为（a，0）则OQ=-a
-∵∠DQP=90°，
∴∠PQO+∠OQD=90°．
又∵∠ODQ+∠DQO=90°，
∴∠PQE=∠ODQ．
又∵∠PEQ=∠DOQ=90°，
∴△ODQ∽△EQP．
∴(QO)/(PE)=(OD)/(QE)=(QD)/(QP)=(1)/(2)，即(-a)/(3)=(PE)/(6)=(1)/(2)，
∴QE=6，PE=-2a．
∴P的坐标为（a+6，-2a）
将点P的坐标代入抛物线的解析式得：-(1)/(2)（a+6）²+(7)/(2)（a+6）-3=-2a，整理得：a²+a=0，
解得a=-1或a=0．
当a=-1时，Q（-1，0），P（5，2）；当a=0时，Q（0，0），P（6，0）．
综上所述，Q（-1，0），P（5，2）或者Q（0，0），P（6，0）．