设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2009=0．（1）求Sn的最小值及此时n的值；（2）求n的取值集合，使an≥Sn．

Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁<0，S₂₀₀₉=0．
（1）求S_n的最小值及此时n的值；
（2）求n的取值集合，使a_n≥S_n．

Answer 1

（1）∵a₁<0，S₂₀₀₉=0．
∴(2009(a1+a2009))/(2)=0，∴a₁₀₀₅=0，
∴当n≤1005时，a_n≤0，
因此当n=1004或1005时，S_n取得最小值．
S₁₀₀₅=(1005(a1+a1005))/(2)=(1005)/(2)a1．
（2）不妨设a₁=-1004，d=1，a_n=-1004+（n-1）=n-1005，
S_n=(n(-1004+n-1005))/(2)=(1)/(2)n2-(2009)/(2)n．
由n-1005≥(1)/(2)n2-(2009)/(2)n．
化为n²-2011n+2010≤0，
解得1≤n≤2010．