已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有f(m)+f(n)m+n＞0．（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式f(x+12)＜f(1−x)；（3）若f（x）≤-2at+2对

Question

已知函数f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若对于任意的m、n∈[-1，1]有(f(m)+f(n))/(m+n)＞0．
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）解不等式f(x+(1)/(2))＜f(1−x)；
（3）若f（x）≤-2at+2对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数：
证明：由题意可知，对于任意的m、n∈[-1，1]有(f(m)+f(n))/(m+n)＞0，
可设x₁=m，x₂=-n，则(f(x1)+f(−x2))/(x1−x2)＞0，即(f(x1)−f(x2))/(x1−x2)＞0，
当x₁＞x₂时，f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数；
综上：函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，
又由f(x+(1)/(2))＜f(1−x)，
得

−1≤x+(1)/(2)≤1

−1≤1−x≤1

x+(1)/(2)＜1−x

，解得0≤x＜(1)/(4)，
∴不等式f(x+(1)/(2))＜f(1−x)的解集为{x|0≤x＜(1)/(4)}；
（3）∵函数f（x）在区间[-1，1]上是增函数，且f（1）=1，
要使得对于任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]都有f（x）≤-2at+2恒成立，
只需对任意的a∈[-1，1]时-2at+2≥1，即-2at+1≥0恒成立，
令y=-2at+1，此时y可以看做a的一次函数，且在a∈[-1，1]时y≥0恒成立，
因此只需要

−2t+1≥0

2t+1≥0

，解得−(1)/(2)≤t≤(1)/(2)，
∴实数t的取值范围为：−(1)/(2)≤t≤(1)/(2)．